函数图像变换是预备微积分中的重要组成部分，它适用于各种类型的函数图像，包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数以及三角函数等。由于这些变换之间存在许多相似之处，因此很容易造成混淆。为了让同学们更好地理解和掌握这一知识点，下面总结了函数图像变换的五大类型。
AP 预备微积分函数图像变化的五大类型
函数图像变化类型1：上加下减
当在整体函数解析式f(x)上加上或者减去一个常数，那么图像会在垂直方向上进行变换。当存在原函数f(x)那么新的函数y=f(x)±c（其中c为常数）是函数在原函数的基础上向上或者向下移动得到的，可以直接记忆口诀“上加下减”。
函数图像变化类型2：左加右减
当在自变量x上加上或者减去一个常数，那么图像会在水平方向上进行变换。即存在原函数f(x)那么新函数y=f(x±c)（其中c为常数）是函数在原函数的基础上向左或者向右移动得到的，可以直接记忆口诀“左加右减”。
函数图像变化类型3：垂直伸缩
当在整体函数解析式f(x)上乘以一个常数，那么图像会在垂直方向上进行伸缩变换。当存在原函数y=f(x) 那么新的函数y=cf(x)（其中c为常数）是函数将原函数在垂直方向上扩大或者缩小得到的。c＞1时，在垂直方向上扩大c倍；0＜c＜1时，在垂直方向上缩小为原来的c倍。
函数图像变化类型4：水平伸缩
当在自变量x上乘以一个常数，那么图像会在水平方向上进行伸缩变换。当存在原函数y=f(x)那么新的函数y=f(cx)（其中c为常数）是函数将原函数在水平方向上扩大或者缩小得到的。c＞1时，在水平方向上缩小为原来的1/c；0＜c＜1时，在水平方向上扩大1/c倍。
函数图像变化类型5：反射
当在整体函数解析式f(x)上加上一个负号，那么函数关于x轴进行对称变换；当在自变量x上加上负号，那么函数关于y轴进行对称变换。
学生在考试时碰到有关函数变换的题目可能不仅包含了一种类型的变换形式，而是很多种变换放在一起进行考察。那么这种组合变换也有相应的注意事项：
（1）当两个垂直变换或两个水平变换组合在一起时，应用它们的顺序可能会影响结果。比如：y=f(½x+3)是指y=f(x)的图像先在水平方向上向左移动了3个单位，又在水平方向上扩大了2倍；y=f(½(x+3)是指y=f(x)的图像先在水平方向上扩大了2倍，又向左移动了3个单位。以原函数y=sin(x)为例，两种变换方式如下：
（2）当一个水平转换和一个垂直转换组合在一起时，应用它们的顺序不会影响结果。比如：将y=sin(x)先向上移动3个单位，再在水平方向扩大2倍，和先在水平方向扩大2倍，再向上移动3个单位得到的结果一样用代数法都可以表示为y=f(½x)+3。
👉Example 1：
（选自TestDaily 2024-AP预备微积分备考计划讲义）
💡Analysis：所有的函数变换都是基于自变量x或者因变量y（即f(x)）的变换。首先判断是对x进行的变换，还是对f(x)进行的变换。先把整个解析式看成一个整体，观察新的函数是否在原函数整体上加上减去或者乘以一个常数，此时得到的任何变换都是针f(x)片的，即图像在垂直方向上的变换，此外的所有变换都是针对x的变换。
再来看上面的题目，(x2/4)+2不能由(x2+2)这个整体加上减去或者乘以一个常数得到，所有g(x)的所有变换都是基于自变量x的，在x2上乘以了常数1/4，那把它转化到x身上，即在x上乘以常数1/2。所以上面函数只进行了水平方向上的变换。根据上述知识点，可以得到答案是C。
👉Example 2:
（选自TestDaily 2024-AP预备微积分备考计划讲义）
💡Analysis: 显然上面的变换中没有针对函数整体的变换，那么所有的变换都是针对自变量x的，如果先在x上减4，再在x上乘以2，那么表达式应该表示为2x-4，所以题目中2(x-4), 表示先在x上乘以2，然后又在x上减4。根据上述知识点，我们可以得到正确答案是D。
通过这些变换的组合，我们可以灵活地调整函数图像的位置、形状和方向。掌握这些变换技巧不仅可以帮助我们在数学领域取得进步，而且还能为我们未来学习更高级的数学概念奠定坚实的基础。
理论知识很重要，但实践才是检验真理的唯一标准。不要害怕犯错，每一次错误都是一次学习的机会。
本文作者
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