AP微积分定理考察题型:极限定理/介质定理/中值定理/均值定理知识点总结

在AP微积分的考试中，有这样一类题。每次看到它们，题干很短，但是茫然不知所措。而一旦有人在旁边悄悄地告诉你这个题目在考察什么知识点，却发现只需要一到两步就可以运算出结果，这一类题目就是定理考察题。在AP微积分的定理考察的题目中，如果提前告诉同学们题目就考察哪个定理，对于定理本身或者题目而言都感到异常简单，但是一旦把题目杂糅到一起，便再也分不清楚谁是谁。犹如魔咒一样，虽然简单却模糊不清，近在咫尺却把握不好。

所以今天老师就带大家盘点一下考试中经常涉及的四个定理，以及如何根据题目含义快速决定对应题目，帮助大家快速拿到所有的涉及定理考察的题目。

极值定理（Extreme Value Theorem）

极值定理可以想象成爬山，如果我们在一个时间里爬山，一定有一个时刻我们会在最高点，同样也会有个时刻在最低点，当然这是建立在没有跳崖的基础上，一切活动都是连续进行的，这就是最值定理。在最值定理中最典型的信息就是最大值与最小值信息，这里最关键的是会有最大值和最小值，而并非在什么时候处于最大值或是最小值。例如2019年的AB真题：

注意看题干的含义，需要我们解释为什么一定有一个x使得f（x）取最大值或者最小值，而并非求最大值或是最小值。只要说明这个函数连续，就一定有最值定理，可以说明存在着最大值或者最小值。

介质定理（Intermediate Value Theorem）

介质定理可以理解为身高的增长，假设今年小明160cm，明年180cm，这就意味着总有一天小明170cm，前提是小明身高的增长是连续的，没有动过任何手术。介质定理的典型特点是针对 f(x) 本身展开讨论，讨论的主体围绕着 f(x) 的数值。例如下题：

其针对于 g(x) 具体的数值讨论，因此可以借助g(1)=-16，g(7)=20，确定一定会有一个状态下 g(x)=0.

中值定理（Mean Value Theorem）

中值定理是四个定理中考察最频繁的，通常考察它的题目会给出 f(x) 的信息，但是转头就问f’(x) 的信息，实现原函数 f(x) 与导函数 f’(x) 的跨越的定理，只有中值定理。例如2016年BC的样题：

题干给定的信息是位置信息，但是问题问的是为什么一定有一个时间下速度为2，从位置问题变化到速度问题，利用中值定理运算：

因此一定有一点速度为2。

均值定理（Average Value Theorem）

对于平均值的求解方法，其实学过很多方法，比如计算全班的平均成绩，可以把所有人的成绩加起来除以人数，又或者想要计算开车的平均速度，可以用路程除以时间。均值定理的思想类似，首先将数据累计起来，然后除以其跨度，而积分可以实现一个变化数据的累积。而均值定理的使用更加明显，捕捉到关键词average value，便是利用均值定理求解。例如2016年AB真题：

捕捉到关键词average value后直接使用均值定理计算平均值，

这四种定理在AP考试中时常出现，其计算过程都不复杂，基本上一到两步运算就可以解决清楚，但其难点是如何根据题目含义揣测出使用哪个定理，这就要求大家必须记清楚定理本身的含义以及其对应的特点。将几个定理分辨清楚后，可以提高做题的速度与正确率。越来越靠近考试，过难的知识学习起来的意义已经不大，同学们更应该注重的是巩固与分辨已经学会的知识，保证基础题目的正确率，像四个定理，弧长公式，速率公式，路程公式的掌握都可以很有效的增加分数。最后希望同学们能踏实复习，顺利获得五分。文章作者：