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如何学好概率论？知道这3个认识，概率计算的很多烦恼将极大减少！

2021-06-22 15:00:17

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概率（Probability）是生活中经常出现的一个名词。出门带不带伞要看看下雨的概率；上课点名回答问题，也有被点到的概率；甚至于选择题不会做，也会看看蒙对的概率。概率便是这样一个非常大众化的概念。而概率论则是将这些经常出现的问题，以数学的角度呈现出来，令一些看上去无法计算的问题用具体的数据分析出来。从简单的掷硬币问题，猜硬币正反面到稍微复杂一些的在盒子中放一堆小球，然后从中抓出某些特定的小球再到更加复杂的纸牌游戏，探讨牌型的分布，这都是概率论的内容。

虽然概率已经是一个相对熟悉的知识，但是在学习概率初期依然有三个非常重要的认识，这会减少在概率计算中的很多烦恼。

1. 概率不等同于事件

概率为生活中的事情的发生而服务，但是二者并不是完全一样的。在概率学中经常有这样一个问题，概率为0的事情一定不发生吗？从理论上来讲概率为0意味着没有发生的可能，但事实真的如此吗？比如描述一个掷硬币的事情，正面朝上的概率为1/2，反面朝上的概率为1/2。这两个概率是确切并正确的，那中间朝上的概率为多少呢，结果为零。但是中间朝上并非不可能发生的事情，因此概率为0的事情可以发生。

概率虽然来源于生活，但是进入到理论研究后，数据往往与事情不完全对等，这一点一定要注意。

2. 正难则反

如果一个事情发生的概率为p，则这个事情不发生的概率就为1-p，这也叫做对立事件（complementary events）。这在概率的计算中非常重要，很多时候，原始的概率计算起来并非易事，这时只要把事情的相反面找到，就可以极大地简化运算。举一个不可思议的概率，假设班级中有30个学生，那至少有两个同学的生日是同一天的概率是多少？先直观的感受一下这个概率的大小，一年有365天，30个同学应该占据的只是一小部分，因此两个同学同一天生日的概率看上去并不大。但事实并非如此。

先将事情分析一下，至少两个同学同一天生日，可以两个同学一天生日，也可以三个同学，四个同学，甚至于三十个同学。如果从正面分析这个概率实在是太难了，但思考事情的对立面就是所有的同学都不在同一天生日。接下来是计算这个概率。对这个事情进行分步计算，第一个同学可以随便选一天，概率为 365/365，但是第二个同学就不能在选这一天了，概率为364/365 ，同理第三个同学363/365 ，以此类推，最终的概率为： (365/365)*(364/365) *(363/365) * … 最终计算结果为0.29，而至少有两个同学同一天生日的概率为1-0.29=0.71，其实有比较大的概率会有两个同学的生日在同一天。

3. 适当简化，分步计算

问题如果一口气展示出来，总会是一个麻烦事。其难点就是在于可能性的多样化，以及各种关系梳理的困难性。 比如我们现在要出门吃饭，需要选择衣服穿上出门，这时候会有非常多的搭配出现在脑子中，选择上衣，裤子与鞋子，每一件上衣都可以和每一条裤子相搭配，种类会变得十分多样。这时候只需要在上衣中先选择最想穿的那一件，进而再为它选一条裤子，最后为这条裤子搭配一双鞋子其实就可以了。

这其实也是经常在计数原理中出现的分布相乘原理（multiplication principle）。比如现在有9件上衣，6条裤子，以及5双鞋子，总共出现的搭配会有多少种。先选上衣为9，再选裤子为6，最后选鞋子为5，最终的搭配是9*6*5=270种。可见每次从衣柜中选的搭配竟然是270种中选择的一个，这就是为何衣服的挑选总是会耗费一些时间。