2021年AP微积分考试CB官方解读:5分率/FRQ平均分/FRQ题目答题情况分析

北京时间9月15日早，CB官方邀请Hollins大学的Julie老师对2021年AP微积分的考试情况进行了整体说明。主要包括以下几个内容：

1. 2021年AP微积分5分率及分数分布 2. 2021年AP微积分成绩与往年比较 3. 2021年AP微积分FRQ平均分 4. 2021年AP微积分各FRQ题目得分分布 5. 2021年北美FRQ题目分析与作答情况解读

最后TD教师也根据多年一线教学经验综合给出了针对2022年AP微积分考试的一些备考经验，希望对大家有所帮助！

2021年AP微积分5分率及分数分布

根据2021年参加AP微积分考试的全部考生数据，微积分AB有50.9%的学生获得3分以上成绩，微积分BC有75.3%的学生获得了3分以上的成绩。具体分数分布如下：

2021年AP微积分成绩与往年比较

与2018年及2019年相比，2021年AP微积分AB的成绩在3分以上的学生有所减少，并且主要是考4分的学生数量明显降低。官方推测主要是由于2021年疫情导致的整体学习环境变差造成了影响。 而AP微积分BC的成绩在4分与5分的学生比例都有下降，其中5分的比例下降了4.7%。但是3分以上的比例下降，BC下降的没有AB多。

2021年AP微积分FRQ平均分

在微积分AB与BC同样的题目：第1、3、4题中，微积分BC的考生的平均分明显都比AB要高。微积分AB的FRQ题目中，平均分最低的是第3题，考察利用定积分求Area与Volume，由于使用了不常见的模型Spinning Toys，因此题目难度的确比较大。

微积分BC的FRQ题目中，平均分最低的是第2题，考察参数型物体运动，由于与物体在x轴与y轴的直线变速运动有区别，比较容易混淆，所以考生的作答情况不佳。

2021年AP微积分各FRQ题目得分分布

从下图中可以看到，微积分AB考生的主要问题在于FRQ题经常无法得到entry points基础分，几乎每道FRQ题目都有25%+的考生一分都拿不到，最高甚至达到40%。这也是整体平均分较低的主要原因。

微积分BC的情况要相对好一些，例如第1题与第4题，这两题和AB的题目相同，作答情况明显好很多。但第2、3、5、6题得0分的比例仍然在23%左右。

2021年北美FRQ题目分析与作答情况解读

1. AB-1/BC-1

这道题主要考察黎曼和模型，AB考生的平均分为2.03，BC考生的平均分为3.12，都不是很高。但是在a) 问的估计导数值，b) 问的写出右黎曼求和公式，c) 问的increasing会导致右黎曼和高估实际值，d) 问的平均值公式上，考生表现的都还可以。

但是也有许多考生共同会犯的错误和问题。例如a) 问中考生无法识别是细菌的population在变化还是density在变化，并且无法写出正确的单位；b) 问对于右黎曼求和，学生经常会忽略题目要求是对r*f(r)进行右黎曼和估计，而不是对f(r)进行估计；c) 问常犯的错误在于不知道如何解释r*f(r)是increasing的。

这也体现出AP教师在之后的教学中需要注意提升学生的如下能力。

首先要带领学生识别不常见的单位和非典型的黎曼和求近似模型 此外需要提醒学生注意审题，并且不要答非所问其次需要让学生进行准确的语言描述训练和对数学含义的解释训练 最后需要强调学生对图形计算器的使用

2. AB-2

这道题的平均得分为2.72，题目难度并不高，但是大部分AB考生对于Straight Line Motion的掌握并不好，所以仍有35%的学生获得了0分。许多学生在本题的作答中可以正确找到a) 问中两个物体的position function，也知道b) 问需要用velocity来确定物体的运动方向。此外大多数学生在c) 问中知道需要通过判断velocity与acceleration同号/异号来判断speed的增减性，并且d) 问中也清楚需要利用定积分来求物体的运动总路程。

但是，仍然有如下考生常犯的错误。例如a) 问中对notation的使用很不规范，尤其是求积分忘记写dt，而且有很多学生忘记用初始值求particular solution。在b) 问中主要是考生意识不到关于两个物体的velocity的正负是相关的，因为不考虑起始位置仅看运动方向无法确定两个物体是相向而行还是相背而行。 c) 问的主要错误在于很多考生拿不到set up point：a(t)=v’(t)，而且只考虑加速度的符号，忘记也需要看速度的正负。d) 问错误也是常见错误，对于total distance在求积分时忘记是对velocity的绝对值求定积分。

通过这道题，体现出AP教师在授课中需要提升学生使用正确数学符号的能力，对于给出的结论也要做充分的论证，最后需要避免模糊的用词例如it等。

3. AB-6

这道题的平均分仅有1.75，是平均分倒数第二的题目，但实际上这道题考察的Unit7 Differential Equation的知识并没有很难。在a) 问的画曲线图像，b) 问的使用正确单位并把极限和水平渐近线联系起来，c) 问的使用分离变量法、使用积分、代入初始值，d) 问的求二阶导和使用差商等方面，考生的表现还可以。

但体现的问题也比较集中。主要在于b) 问中学生对于“in the patient”和“administered to the patient”无法区分开，本题的A(t)是在药品给病人服用后，药物在病人身体中含量的模型。此外对于极限的解释有错误，会说成最大值或者是药品的量“be 12”-“是12”，但应该是“approaches 12”即“接近12”。在c) 问中问题出在不能正确进行分离变量法，换元法求积分的方法也不熟练，并且不会进行指数方程与对数方程的转换。d) 问中，很少有考生会考虑到用二阶导来判断极值，并且对二阶导的求法也非常不熟练。

这就需要AP教师在之后的授课中注意以下几个方面：

首先要让学生熟练分离变量法解微分方程的步骤 其次要强调对于初始值的使用位置 第三是对于无穷极限的理解和现实生活中的应用 最后是需要学生加强指数表达式简化的训练和分数方程的计算

4. BC-5

这道题考察了分离变量法、泰勒展开以及欧拉法则，平均分为4.26，是BC的6道FRQ中平均分第二高的题目，证明大部分BC的学生在这部分的掌握还是不错的。学生表现比较优秀的地方：首先大部分学生都能够写出泰勒多项式的展开方法，或者至少能写出麦克劳林多项式的展开形式；其次在用泰勒多项式估计函数值上也没有问题；此外大部分学生都能理解如何使用欧拉法则进行估计；最后大部分学生都可以正确分离变量。

问题比较集中在以下几个地方：a) 问中多项式的起点在x=0而不是x=1，ln1=0而不是ln1=1，对函数值进行估计却不使用二阶泰勒多项式，在这些地方很多考生出现了错误；b) 问的问题主要出现在欧拉法则的使用上，例如step size应该是0.5，每一步代入时x的数值错误等等；c) 问的问题依旧和分离变量法的正确使用相关，此外还有对分部积分法的不熟练，以及计算简化方面容易出现错误。

这道题对于AP教师的要求在于以下几点：

首先要强化学生理解什么时候使用泰勒多项式估计，什么时候使用实际表达值求确切值；其次要提醒学生对于正确数学符号的使用； 再次是需要学生练习分离变量法的正确步骤以及对分部积分法的熟练掌握。

TD教师备考建议

最后，给即将参加2022年AP微积分考试的同学们提出几点备考建议： 1. AP微积分考试并不注重对于计算的考察，但根据2021年的命题趋势，越来越强调对于概念和定义的理解。仅仅局限于会求导和求积分已经远远不够，更需要对知识点知其然也知其所以然。 2. 对于重难点章节要多做练习多思考，例如微积分AB的Unit4导数实际应用、Unit7微分方程、Unit8积分应用，微积分BC的Unit9参数方程&向量&极坐标、Unit10级数。在Unit4和Unit8的导数与积分的实际应用部分需要多看一下不同的函数模型形式，搞清楚不同模型中变化的是哪个量，以应对逐渐变难的题目趋势。 3. 在学习完全部知识点之后，可以根据考纲将每个单元的考点和知识点进行整理，并试着给其他人进行讲解。给他人讲解对于自己内化知识并且梳理逻辑有着非常明显的效果，能给他人讲明白，那自己对于知识点的熟悉程度自然会很高。

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