复数问题解读:SAT/IB/AP考试中都会考到的复数问题，你真的弄懂了吗?

在实数域中，连接两个真理的最短的路径是通过复数域。——雅克·阿达马 无论在何种教育体系下，欧洲体系，北美体系又或者是国内体系下，学习复数的标准方式都是利用叫做 x²+4=0 的方程。在传统的实数系中，解决一个类似的二次方程通常对两边取根号，然后对结果进行讨论。但是这种方法只适用于存在着实数根的例子，一旦变成 x²+4=0 这样的情况，就变得毫无办法。因为在实数范围内，并没有任何一个数的平方等于-4。

负根号的产生

其实对于这一问题，从文艺复兴时期，数学家卡尔达诺就对此展开了讨论，他讨论找到和为10且乘积为40的两个数的问题，即

利用二次函数的公式法，可以得到结果为

和

这仿佛就像是本来就没有意义的事情，因为不存在为何还要进行研究？就如同前面的

既不等于2，也不等于-2，只是一个表达形式，而并不具备数字本身的意义。

其实这种想法十分合理，这就如同去求解这两个方程的公共解，我们可以将它的图像描绘出来，解不出来就意味着没有解，既然没有解，就不需要继续探讨了。

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x+y=10 & xy=40的图像[/caption]

图像与代数的矛盾

于是卡尔达诺又“开心地”做起了其他内容的探讨，经过长时间的数学研究，他找到了求解三次方程的公式，通俗地讲：

这是卡尔达诺一生最伟大的公式，但是命运的安排总是充满戏剧性，这个公式虽然是准确的，但是不可避免地又出现了复数的身影。假设方程为 x³-15x-4=0，利用上面的公式

按照实数领域的认识，这个数字应该是不存在。但是当把图像绘制出来（如下图），会发现其实它的根是存在的。

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y=x³-15x-4的图像[/caption]

虚数的诞生

直到他去世也没有解决这个问题，公式其实是准确的，只不过缺少了一个新的数系作为媒介去连接不同的数值。这个问题最终在笛卡尔等数学家的努力下得到了解决，而此时这一符号也正式问世。至此，人类开始以 i 定义数字

其运算规则为 i²=-1 同时也给它命名了一个好听的名字虚数（imaginary number），意为想象中的数字。以代表实数（real number）的对立面。而同时，如果将实数与虚数糅合到一起，便称为复数（complex number）。

而卡尔达诺跨越一个世纪的问题也得到了解答。

在化简之中 i 相互抵消，至此人们也明白了i 存在的真正意义——作为中间的媒介简化实数运算。而复数在高中阶段也是重要的考试内容，在SAT考试中，会考察复数的四则运算，将虚数与实数结合在一起，进行形如a+bi型数字的运算。在美高课程Pre-Calculus中，除了四则运算外，还会考察复数的极坐标与指数表达形式，复数方程求解，以及德莫夫定律。除了a+bi这一种形式以外，还需要认识 r·cisθ，以及这两种形式的复数方程，而极坐标形式还可以帮助解决形如 z²+1=i 这种形式的复数方程。在IB知识体系中，除了上述知识，还会涉及到欧拉公式以及麦克劳林级数与欧拉公式的证明。即为什么可以用