AP微积分AB物体变速直线运动部分：关系问题和运动方向知识总结及考点分析

物体的变速直线运动作为每年AP微积分必考的知识点，也同样是很多同学的痛点所在。公式过多，概念不清等等都是大家在这处知识点失分的主要原因。所以今天我们以2021年最新的北美微积分AB的FRQ真题为例，进行微积分AB中物体变速直线运动部分的知识总结和考点分析。首先，我们需要对物体的运动状态进行分类。在微积分AB的考察中，所有的物体都是横平竖直沿着x轴或y轴进行运动的，所以运动方向均为水平运动或垂直运动。在此类运动中，物体变速直线运动就仅仅考察4个知识点：

1）关系问 2）运动方 3）增减问 4）位移&路程

因篇幅原因，我们会分成2次讨论以上内容。这篇文章中，我们先介绍前2个。

1.关系问题

在物体的运动中，我们将见到三个函数：position function位置函数、velocity function速度函数以及acceleration function加速度函数。那么考察的关系就是这三个函数之间的关系。

1. 导数关系

position function一般用x(t)或者y(t)来表示，表明的是在时间t时物体的所在位置。例如x(3)=2，就表示在时间t=3时，物体位于x轴上的(2，0)点；y(4)=5，就表示在时间t=4时，物体位于y轴上的(0，5)点。那么我们对位置函数进行求导，求位置相对于时间的变化率，得到的结果就是velocity速度。因此

除了位置函数可以求变化率，对速度同样可以求变化率，因此对velocity求导得到的就是acceleration加速度。加速度指的就是速度对时间t的变化率。因此

又由于

所以对position求二阶导就相当于对velocity求一阶导，结果都是加速度。所以

以上可以对第1个关系：导数关系，进行一个总结：

2. 积分关系

既然可以从求导角度推下去，自然就可以从反导，也就是积分的角度推回来。所以我们对a(t)求积分，就可以得到v(t)中有t存在的表达式，但并不是真正的v(t)。为什么会这么说呢？因为求积分我们只能得到与原函数平行的函数簇，也就是general solution，还需要限定原函数过某个点才能得到particular solution，这才是真正的v(t)。我们对v(t)求积分也可以得到与x(t)平行的函数簇，也是同理的。因此我们可以对第2个关系——积分关系进行如下总结：

3. velocity速度与speed速率直接的关系

要知道，速度是一个vector矢量/向量，即既有大小又有方向的量，例如：向左以3m/s的速度运动。而我们生活中常说的“速度七十迈”等，实际上表述的都是speed速率。speed就是一个标量，即仅有大小没有方向的量。所以我们也可以把speed看作是|velocity|，仅保留velocity的大小，而不看它的方向，也就是物体的speed速率了。所以综合看来，第1个知识点中的3对关系如下：

接下来我们一起看一下在真题中的考察方式，以2021年微积分AB北美FRQ第2题为例：

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FRQ第2题a问[/caption]

题目中给了两个物体P和Q的velocity function，并给出了在t=0时P与Q的初始位置。第1问求在t=1时P与Q所在的位置，这道题考察的就是知识点1:关系问题。由于已知速度函数和初始位置，那么只要计算出从t=0到t=1物体的位移，自然可以求出在t=1时物体的所在位置。 参考答案如下：

[caption id="" align="aligncenter" width="900"]

a小问官方答案scoring guideline[/caption]

这一小问共3分，使用定积分得1分，两个位置各1分，我们发现掌握上面总结的知识点后，列出计算式并不难，最后计算器算出就能全部拿分.

2.运动方向

关于物体的运动方向，一般只会考察物体是向左/右运动，或者向上/下运动。因此运动方向就仅与velocity的正负有关。 由于velocity是既有大小又有方向的矢量，而velocity的方向指的就是物体的运动方向，所以当v>0时，物体向正方向运动；当v<0时，物体向负方向运动；当v=0时，物体原地不动。 我们继续以真题为例，继续来看这道第2题的b小问：

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FRQ第2题b问[/caption]

第2问需要考生回答在t=1时，两个物体P和Q是相向而行还是相背而行，并给出解释和分析。很明显，这就是考察第2个知识点-运动方向的问题。 想要做出判断，我们不仅需要知道P和Q的运动方向，还需要考虑到在t=1时P和Q的位置关系，因为不同的位置关系会得到不同的答案。所幸第1问我们已经计算过了两个物体在t=1时的位置，可以直接使用。此外再计算出t=1时P和Q的velocity的正负，即可判断出当时两个物体的运动方向。 参考答案如下：

[caption id="" align="aligncenter" width="900"]

b小问官方答案scoring guideline[/caption]

这一问只占2分，物体运动方向1分，解释两物体的相对运动1分，所以如果没有考虑到t=1时的物体位置，也是可以至少得到1分的。本次我们先讲解前2个知识点，同学们也可以利用这两个知识点对真题中的题目进行练习。对题目考点进行归类并集中刷题，是非常有效探明知识考察方式的方法。本文文末会赠送给大家TD整理的《微积分AB十年FRQ真题册》，真题册中2018-FRQ-2；2017-FRQ-5-a/b；2016-FRQ-2-c/d等，都可以有针对性地对我们文中讲到的知识点进行练习。关于物体变速直线运动剩下的2个知识点，我们下一篇文章将会继续介绍～祝同学们备考顺利。