AP微积分AB物体变速直线运动部分：增减问题和路程/位移知识总结及考点分析

上篇文章中，我们讲解了物体变速直线运动的前2个知识点：关系问题以及物体运动方向问题（还没看的同学可以点击右侧链接进行阅读?：AP微积分AB物体变速直线运动部分：关系问题和运动方向知识总结及考点分析），并以2021最新微积分AB北美FRQ的第2题为例进行了讲解。首先我们先来看一下前2个知识点的掌握情况。 第1个知识点：关系问题。这里我们需要掌握3对关系： 这部分知识不仅会考察MCQ选择题，一般也会在FRQ的第1问中考察。 第2个知识点：运动方向问题中，我们需要知道物体的运动方向与velocity速度的正负有关，当v>0时，物体向正方向运动；当v<0时，物体向负方向运动；当v=0时，物体原地不动。 相信大家也已经对上次讲解的两个知识点进行了真题练习。那接下来，我们来看最后两个知识点。

3. 增减问题

这部分需要考虑两个量的增减，一是velocity，二是speed。对于velocity而言，由于它的导数是acceleration，所以加速度的正负就决定了速度的增减性。 当a>0时，v增加；当a<0时，v减少；当v=0时，v不增不减。考虑到实际含义也很好理解，由于加速度是速度的变化率，那么如果速度值越来越大increasing，加速度自然应该是正的，反之同理。 比较难理解的是speed的增减问题。由于speed=|velocity|，所以我们不妨将速度函数的图像做整体加绝对值的处理，得到speed的图像后自然可以轻松分辨何时为增，何时为减。又或者可以利用实际含义来考虑： 1. 当v>0且越来越大时，就是我们常说的“速度越来越快”，那么speed就是在增加的speed up，例如下图中「区间1、7」；反之如果v<0且越来越小，就是向反方向运动的“速度越来越快”，speed同样应该在增加speed up，例如下图中「区间4」。 2. 但如果当v>0且越来越小，即v>0且a<0，则这时物体运动也会越来越慢，所以speed在减少slow down，例如下图中「区间3」；反之如果v<0且a>0，物体向反方向运动但加速度的方向为正，物体也会运动得越来越慢slow down，例如下图中「区间5」。 所以综合看来可以总结如下： Velocity的增减取决于acceleration的正负，a>0，v is increasing；a<0, v is decreasing。 Speed的增减取决于velocity和acceleration同号还是异号，若v、a同号，speed is increasing；若v、a异号，speed is decreasing。 接下来我们以真题第3问为例： 第3问让考生求出物体Q在t=1时的加速度，并且问在t=1时速率speed的增减情况，考察了知识点1和3的内容。由于acceleration时velocity的导函数，所以利用计算器直接求物体Q在t=1时velocity的导函数值即可。 此外speed的增减需要考虑a与v是同号还是异号，因此还需要求出物体Q在t=1时的速度值。 答案如下：

4. 利用积分求路程和位移

由于velocity是位置关于时间的变化率，因此我们对velocity在某个区间求定积分，就可以得到在区间时间内物体位置的变化量，即物体的位移Displacement。由于velocity是矢量，所以位移也是既有方向又有大小的矢量。例如：位移为-3就代表物体向负方向运动了3个单位长度。 而路程Displacement则是物体在某个区间一共运动了多远，无论是朝正方向还是朝反方向。由于路程没有方向，只有大小，所以路程毫无疑问是个标量，因此路程也可以看作对speed速率这个标量求在某个区间的定积分。 举个例子来区分一下位移和路程。小明参加学校的400m跑步比赛，往返跑进行，赛道长100m。所以小明从起点跑到终点的Distance路程就是400m，而Displacement位移则为0，因为小明从起点到终点的位置没有进行变化。 结合下图速度-时间图像，我们可以来直观理解一下用定积分求位移和路程的区别。 注：V图像和x轴围的面积大小代表位移。位移有正负，A1、A3面积代表正位移，A2面积代表负位移（数值上，A1、A2、A3均是大于零）。 那么该物体从a到b的位移就是Displacement 而总路程就是Total distance 所以真题的最后一问也自然考察了关于知识点4的内容。 第4问果然让考生求出物体P在某区间的总路程，我们直接利用计算器，对velocity的绝对值即speed，求积分即可。 答案如下： 至此我们已经将Straight Line Motion部分的知识点和考点全部进行了梳理，同学们依旧可以对题目考点进行归类并集中刷题，这是非常有效探明知识考察方式的方法。 物体变速直线运动在微积分AB和BC中都是每年必考的知识点，在AB中的占分更多，不仅会考察多道选择题，而且会必考一道FRQ大题。本文文末会赠送给大家TD整理的《微积分AB十年FRQ真题册》，真题册中例如2019-FRQ-2-c/d；2017-FRQ-5-c/d；2016-FRQ-2-a/b等，都可以有针对性地对本文中讲解到的知识点进行真题练习。 每年考察的形式虽然都有所变化，也不一定可以使用计算器完成，但整体均会围绕以上4个知识点进行。同学们在充分理解知识内容后，熟记相关公式，即可轻松获得这一部分的分数。祝愿大家都能取得理想的AP成绩。

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