AP物理重要考点：刚体转动中的函数图像凹凸性问题如何巧妙解答?

其实如果只是说运动相关的图像的话，在平动中我们已经非常熟悉各种位移-时间图像、速度-时间图像、力-位移图像、力-时间图像了，包括图像上的斜率和面积的含义。 那为什么要单拎出刚体转动再讨论一遍图像呢？这是因为，一方面转动中的物理量和牛顿第二定律本身对一些同学来说就是难点。再加上转动题目灵活多变，不一定是以时间为变量的函数图像，可能是问和角度、角速度、角加速度等的关系，就更麻烦了； 另一方面由于力矩的表达式 中这一项的存在，很多函数图像不是线性的而是非线性的，那么就涉及对凹凸性的判断问题了。 凹凸性的判断自然要用斜率，只是有时候这个斜率的计算并不是那么简单、含义也不是那么直观，需要我们仔细分析。 我们先来看一些凹凸性比较好判断、斜率有明确物理含义的情况。 2011年的一道MCQ，如图所示，说有一根细杆从竖直位置开始受到轻微扰动而向下转动，转过的角度为θ。首先让我们求的是角加速度α和角度θ的图像。 根据转动的牛顿第二定律，角加速度等于力矩除以转动惯量，其中转动惯量是定值，而力矩随着转动再逐渐增大；假设转轴到质心的距离为r，则细杆受到顺时针的力矩大小为 ，所以角加速度 ，即α也正比于sinθ，我们只需要选取一个形状和sinθ在[0,π/2]区间一样的图像就可以了，所以是一个下凹（concave downward，亦即上凸）函数，正确答案如下： 第二小问让我们继续求角速度ω随时间t变化的图像。这里一个误区是由同学想着“角速度是角加速度求积分，sin函数求积分是cos函数……”这就走远了。 ω(t)=ʃ α(t)dt 是对时间积分，要得到α(t)才能算积分，可是现在得到的是α关于角度θ的函数，实际上表示了一个二阶非线性微分方程，要求解非常复杂，求出来的ω(t)也不是cos函数的形式，找cos函数的图像也选不对答案。实际上这题不需要得到具体的ω(t)函数。 可以说随着时间增大，转过角度增大，力矩增大，角加速度增大，所以ω-t图像斜率增大，是上凹函数（concave upward，亦即下凸）。也就是说这题其实并没有什么微积分知识，只需要知道角加速度是角速度图像的斜率，会用转动牛顿第二定律分析角加速度就可以了，还是在考物理概念。正确答案如下： 这两道题都不用真的推导出函数表达式进行求导，就可以说明图像的凹凸性，但有的题目要严格证明凹凸性就略复杂一些。这时候就真正考验大家求导数的基本功了！ 如果导数增大，函数图像上凹；如果导数减小，函数图像下凹。这个在FRQ的画图题中是个采分点，只画对了增减性但没画对凹凸性是不得分的。因为评分标准中会说“For a concave down curve that decreases to zero for the graph of ……”。 下面我们就来看这样一道题，2021年最新的FRQ。一个如图所示的细杆绕左端点从水平位置开始顺时针向下转动，让我们画出力矩和时间的函数图像。 由于题目条件说这是一个密度不均匀的细杆，所以质心并不在中点，但是这对我们画图没有影响。假设转轴到细杆的质心距离为r，转过的角度为θ，则力矩为 ，如下图所示： 显然随着增大，力臂减小，力矩减小，但是凹凸性呢？这时我们就可以求导： 这里有个小技巧，注意到里面根据链式法则得到的 就是角速度。负号表示力矩在减小，而绝对值sinθ·ω里，角度增大sinθ也增大，且有力矩有角加速度，角速度ω自然也一直增大，所以导数的绝对值是增大的，那导数就是个减小的负数，函数图像下凹。对应到图像上，图像的斜率是一个减小的负数，那么画出来的图像切线应该是斜向下且越来越陡峭的，也就是如下图所示的下凹函数（其中两条虚线是为了表示切线斜率为减小的负数）。 总结一下，我们上面看到的三个图像对应了三种不同画图思路： 1. 能直接得到两个变量之间的函数表达式，例如图1里的 ，从而分析凹凸性。 3. 既不能得到横纵坐标的函数表达式，也得不到导数表达式，只能定性分析导数/斜率所代表的物理含义，例如图2的斜率就是角加速度，那就可以通过牛顿第二定律去分析。 希望同学们通过这三个例子能对判断转动中的函数图像问题有更多的思路～

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• 文章来源： AP考试研习社    微信号：gh_db4a8475809b
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