2023年AP微积分BC北美卷考试真题及考情回顾：FRQ已放出，难度简单，考点高频|附AP常考科目备考资料免费下载领取！

2023年AP 微积分BC北美卷考情—整体分析

2023年AP微积分BC考试已经结束，从CB放出的北美卷FRQ考题来看，本次考试的FRQ部分整体比较简单，难度系数和去年的题目差不多。如果和过去五年的北美FRQ作比较的话，今年考试的FRQ六道题目包含的考点都是在以往考试中频繁出现的，没有特别多的变化。如果考生在备考期间完整地做过过去五年的北美FRQ真题，这套试卷不会给学生带来过多的挑战。

2023年AP 微积分BC北美卷考情—逐题分析

第一题

本题主要考查积分导数综合的文字应用题，题目以表格的形式给出了一个函数f(t)，用来代表汽油流入油箱的速率(gallons per second)。 (a)题目要求我们先解释一下

在文中的实际含义，并利用right Riemann sum来近似这一积分的数值。首先根据f(t)的实际含义--汽油流入油箱的速率，我们可以知道对f(t)求积分得到的就是在60~135这一个时间段内，加入汽油的总量。利用right Riemann sum近似积分数值时，只需要根据题目中给出的表格数据，找到每个区间右端点的函数值作为长方形的长，每个区间的宽度作为长方形的宽，计算长方形面积再求和即可。 (b)题目问在(60,120)这一区间上是否存在一个点c，满足c的导数值等于0。根据这一小问的问法，我们可以判断出考点为Mean Value Theorem，因为题目中有提到f(t)是一个differentiable function，所以我们可以直接利用Mean Value Theorem的公式通过计算得出会存在一个点c满足该点导数值等于0的结论。 (c)题目中给出一个有具体表达式的函数g(t)用来代表汽油流入油箱的速率，问我们函数g(t)的平均值。我们可以直接利用average value的计算公式

, 把题目中g(t)的表达式和时间范围带入即可。 (d)题目让我们对g(t)求导，并解释t=140的时候，g’(140)在上下文中的实际含义。解释导数含义的时候可以从rate of change的角度描述，对g(t)求导，得到的就是g(t)的 rate of change。

第二题

本题主要考查平面中的曲线运动问题，题目给出了曲线运动轨迹，y(t)和x’(t)的表达式以及一个初始位置。 (a)题目要求我们找到t=1时的加速度向量，只需要对y(t)求两次导数，对x’(t)求一次导数再带入t=1即可。 (b题目要求我们找到速率(speed)第1次达到1.5的时间，根据speed的公式:

, 让speed 等于1.5求解方程解出t即可。 (c)题目首先要求我们找到t=1的时候，曲线上这一点处的切线斜率，然后再找到t=1的时候，位置的x坐标。寻找切线斜率时，可以直接利用公式

计算。而在寻找位置的时候，可以先对x’(t)求积分计算出t=0到t=1的位移（displacement）再加上题目中给出的t=0时的位置x坐标即可。 (d)题目要求我们计算从t=0到t=π的总路程(total distance)，只需要对speed求从t=0到t=π的积分即可。

第三题

本题主要考察微分方程，题目中给出一个微分方程表达式。 (a)题目要求我们在给出的斜率场图象上画出经过点(0,5)的原函数曲线，只需要按照斜率场中的线段趋势延伸即可。 (b)题目要求我们利用t=0时的切线方程来近似t=2时的函数值。首先，我们可以利用题目中给出的微分方程计算出t=0时的切线斜率，在利用题目中给出的t=0，M(0)=5写出切线方程，之后把切线方程中的t换成2，计算y值即可。 (c)题目要求我们利用给出的微分方程求出原函数的二阶导，再利用二阶导数判断b问的估值是低估还是高估。首先，对题目中给出的微分方程

关于时间t再求一次导数可以得到M的二阶导数，再把t=0带入计算此时二阶导数的正负，最后根据二阶导的正负利用原函数的凹凸性来判断切线估值是高估还是低估。 (d)题目要求我们利用分离变量法求出原函数的表达式，分离时先把（40-M）看做一个整体，放到等号左边，然后把dt放在等号右边。在完成分离这一步之后，等号左右两边同时求反导数，再带入题目中给出的初始条件，解出C的数值，最后化简结果即可得到原函数表达式。

第四题

本题主要考察积分导数综合应用的图象问题，题目中给出了导数f’的图象，以及f(2)=1。 (a)题目让我们判断f(x)在x=6的时候是否有relative max/min。可以利用first derivative test，根据f’的图象可以看出当x=6时，f’没有正负变化，所以原函数在此处没有relative max/min。 (b)题目让我们判断在哪个区间上f(x)是concave down。我们知道当一阶导数递减的时候，二阶导数小于0，此时原函数是concave down。因此，直接在f’图象上寻找f’的递减区间即可。 (c)题目让我们计算一个极限的数值，我们可以利用直接洛必达法则解决此问。 (d)题目让我们找到函数f(x)在闭区间【-2,8】上的最小值。首先我们可以让f’(x)等于0，找到函数f(x)的critical points，之后利用f’(x)的图象，利用图形面积并借助定积分求出f(x)在-2,8以及critical points处的函数值，最后比大小找到最小值即可。

第五题

本题考查积分应用，涉及到函数曲线间面积，反常积分以及分部积分。题目中给出了两个函数的图象，其中一个函数g(x)的表达式以及另外一个函数f(x)的积分数值。 (a)题目让我们找到两个函数曲线之间的阴影面积，可以直接利用上面的f(x)减去下面的g(x)然后再求积分，其中f(x)的积分值已经在题目中给出，g(x)积分值可以通过直接对g(x)的表达式求积分得到。 (b)题目要求我们计算improper integral，计算时只需要用常规的积分计算技巧，但需要注意在写FRQ中的反常积分问题时，需要把积分上限的无穷替换为字母，改写成一个极限的形式。 (c)题目要求我们计算出xf’(x)从x=0，到x=3的定积分，因为被积分函数的表达式可以看做两个函数相乘的形式，因此可以使用分部积分，可以设u=x然后带入到分部积分的公式求解即可。

第六题

本题主要考查泰勒级数，主要涉及泰勒级数原始公式的使用以及拉格朗日误差限。题目中给出了函数值，一阶导数值以及二阶导数和三阶导数的表达式。 (a)题目要求我们找到四阶导数的表达式并写出函数f(x)的四阶泰勒多项式。首先对三阶导数的表达式直接求导可以得到四阶导数的表达式，求导时会用到product rule和chain rule，直接利用泰勒级数的公式：

, 把c换成0并展开写到

这一项即可。 (b)题目要求我们计算出拉格朗日误差限，可把已知条件直接代入到利用拉格朗日误差限的计算公式，其中五阶导数的最大值可以直接利用题目中给出的15，然后再化简计算即可。 (c)题目给出了一个新的函数g(x), 已知g(0)的数值以及g’(x)的表达式，我们需要找到二阶泰勒多项式。和a问的做法相同，首先对g’(x)求导得到g’’(x)的表达式，然后把上述条件再带入到泰勒级数的公式中就可得到二阶泰勒多项式。