2023 AMCB卷考试落幕后,TD教研组对AMC 10/12考试进行了细致、深入的分析,本文为AMC12B考情分析。

一、2023 AMC12B试卷分析

2023 AMC12B考试题中,代数与函数有6道,复数1道,几何9道,概率3道,其中2道古典概型实际是考察计数,计数1道,数论3道,另有逻辑推理1道,统计1道。

二、考题分析

1、代数与函数

共6道题,总题量适中,以简单题与中低档题为主,对数考察了一道,抽象函数考察了一道。与2023 AMC12A比,题量减少,且总难度降低。 第1题考察比例计算。 第2题考察百分数计算,涉及折扣,是经典问题。 第6题考察高次不等式求解,也是经典方法,2020 AMC10A第17题考察过该方法。 第7题涉及了对数,主要是分式不等式解法,方法与第6题相同。

附2020 AMC10A第17题

第14题考察韦达定理,涉及到整数的分解,本身不难。 2021春AMC10A第14题,AMC12A第16题方法与本题类似,考察的是六元韦达定理,且要求更高,综合性更强。 第22题考察抽象函数,位置属于高档题,但方法指向很明确,赋值法,对有过此类问题研究经验的考生来说比较轻松。

2、复数

1道题,第12题,考察模长,本质是一个方程组求解问题。

3、几何

共9道题,平面几何5道,解析几何2道,立体几何2道,与2023 AMC12A对比,题量增加,难度也有增加。 第3题平面几何,考察固定结论,直角三角形的外接圆直径即为斜边。 第4题平面几何,考察矩形面积,涉及单位换算,基础题型。 第9题解析几何,考察不等式表示的平面区域,中档题型,也属于固定类型题目,在此方面接触较少的同学做起来不太顺利。 2016 AMC12B第23题考过一个类似方法,不过是立体几何。 第10题解析几何,求两圆相交弦的斜率,考察平面几何中两圆位置关系的结论,相交两圆的圆心连线垂直平分相交弦,所以找到圆心坐标,求出圆心连线斜率,再取负倒数即为所求,算中低档题。 第11题平面几何,考察等腰梯形面积最大值,与二次函数结合的经典问题类型,考察等腰梯形辅助线,作双高,中档题型。 第13题立体几何,考察长方体中的经典计算,包括棱长,体对角线,表面积等,同时结合了(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,也是经典问题。 第17题平面几何,涉及等差数列,主要考察余弦定理,列式解方程后即可求出三角形面积。 第21题立体几何,考察圆台的侧面展开,题目类型为立体几何中经典最短路径问题,中高档题,综合性较强。 第25题平面几何,考察正五边形计算,相似图形面积。本题虽然在第25题位置,但其实2015年AMC10B的第22题的图形就是本题要的图形,而且要用的结论一致。 下题图中的ABCDE即为25题中的正五边形,按其描述折叠后得到的是正五边形FGHIJ,图中会出现两类等腰三角形,36°-72°-72°与108°-36°-36°,其中前者称为黄金等腰三角形,因为可以根据相似三角形求得其底与腰的比值为黄金分割比例(√5-1)/2,如果知道这个结论,很容易求得新正五边形的边长是原正五边形边长的[(√5-1)/2]^2倍,面积则为原正五边形的[(√5-1)/2]^4倍。

4、概率、计数与数论

除第8题相对靠前外,其他题目在15及之后,难度相对较高。 ?概率部分 第19题与第23题考察古典概型,但实际考察的是计数方法,其中第19题的计数方法是隔板法的变式,需要有相应的方法储备才能识别出来。 第20题考察几何概型,所用为经典方法,同时涉及到相交两圆的处理。 ?计数部分 第8题为求集合满足条件的子集个数,直接按集合中元素个数(或者最小元素)分类讨论即可。 ?数论部分 第15题考察的线性不定方程,本题将原方程化为15a+14b=c后,利用两边除以2,3,5,7的余数分析即可。 其实本题有一般结论,关于线性不定方程ax+by=c,当且仅当d=gcd(a,b)|c时方程有整数解,否则方程没有整数解,并且还可以根据特解(x0,y0 )得到通解(x0+bt/d,y0-at/d)(是一个整数)。 第16题考察整数的线性组合,问题转化为不能用6的正倍数,10的正倍数,15的正倍数组合出的最大正整数,可通过举例子,或者通过研究余数可以得到结果。 第24题考察最小公倍数,题目所给条件隐藏了a,b,c,d 4个数的质因分解中2,3,5的power的信息,本题方法与2016年AMC10A第25题12A第22题一致。

5、其他

第5题是逻辑推理,通过举例尝试可得到结果。 第18题考察平均数,题目给的信息比较多,且无法算出确定结果,主要考察的一个结论是两组数据混合后的平均数,介于原两个平均数之间,这样就很容易锁定答案是A。

三、与往年对比

1、与2023 AMC12A卷对比

相比A卷,2023 AMC12B在整体难度上持平,主要体现在前边中低档与中档题目的难度,在考察内容上,和难点设置上有调整:
1.B卷考察内容多了逻辑和统计,增加了逻辑推理1道和统计中平均数1道,且后者在18题的位置,对学生并不友好。 2.内容占比有调整: 代数与函数占比减少:A卷有11道,B卷只有7道 几何占比大大增加:A卷4道,B卷11道 3.难点设置上,A卷以代数为主,也有计数与概率,B卷比较均衡

2、与往年对比

整体题型与涉及知识点的范围与往年区别不大,不同的地方主要体现在题目难度的变化,主要是在中高档题目(评分为4分)的难度有所降低,难题(评分为5)的题目数量减少。 与去年题目相比,整体难度下降比较明显,尤其是基础题与中档题,对于各梯队的学生来说都比较友好,而且从知识与方法的考察来说,更加考察学生的知识储备量。

四、备考建议

结合2023 AMC12的AB卷考法考点,对比往年题目,可以看到,代数与函数、几何仍然是核心的两大板块,占了较大比重,基础,中档,高档题目都有涉及,也是对知识储备量的一个考察,在复习时,基本结论要熟练掌握,也要尽可能多地积累经验,题型和方法。 其次,计数概率与数论,一直以来是竞赛中的难点,对于考生来说,是必然要花一定时间复习,至少要解决中15及以前的问题,对于追求高分的同学,则要研究高档题目的处理。 另外,对于统计,逻辑等内容,也要作一定的针对复习。

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