机考SAT数学变难?异常值对统计量的影响你懂了吗?附SAT数学难题合集免费领取!

六月SAT考试结束后，很多同学反应数学的data analysis部分很难。但实际上SAT中考察的data analysis的知识点并不难，主要是一些基础的统计学知识，之所以在考试时无从下手，只是因为这个部分的知识点容易被同学们遗忘、同学们对于这部分知识点不太熟悉所导致的。所以今天我们就来介绍一下data analysis中center and spread的知识点，并讲解一下一种容易考到的题型：异常值对于各个统计量的影响。

SAT数学异常值知识点讲解

平均数 (Mean)

平均数是数据集（data set）中所有值的总和除以值的数量。它反映了数据的中心趋势。

计算公式：x̄=（x^₁+x₂+x₃+…x_n）/n

异常值对平均数的影响：异常值会显著影响平均数。一个极大或极小的值会拉动平均数，导致它偏离大多数数据点。增加一个很大的异常值或移去一个很小的异常值，会令平均数变大；增加一个很小的异常值或移去一个很大的异常值，会令平均数变小。

中位数 (Median)

中位数是将所有数据排序后位于中间的值。如果数据点数为偶数，则中位数是位于中间的两个数的平均值。它也是一种数据的中心趋势度量，但比平均数更不受极端值影响，因为决定中位数的是数据的位置。

计算方法：将数据排序，选择中间的值。如果是偶数个数据，取中间两个值的平均。

位置公式：position=(n+1)/2

异常值对中位数影响：中位数对异常值不敏感。除非异常值导致中位数位置的变化，否则中位数基本不变。

*拓展：平均数和中位数的大小比较

当数据分布接近关于中心对称是，平均数约等于中位数（图片），如果数据分布完全对称，这个数据集的平均数等于中位数（mean = median）。

上图的数据分布情况可以看作是一个数据集加了一些很小的异常值，会导致平均数变小，中位数可能不变。上图的数据分布叫做左偏态（skewed to the left），这种分布下平均数小于中位数（mean < median)。

上图的数据分布情况可以看作是一个数据集加了一些很大的异常值，会导致平均数变大，中位数可能不变。上图的数据分布叫做右偏态（skewed to the right），这种分布下平均数大于中位数（mean > median)。

范围 (Range)

范围是数据集中最大值与最小值之间的差值。它反映了数据的分布宽度。

计算公式：范围=最大值−最小值

异常值对范围的影响：异常值会显著影响范围。一个极端的最大值或最小值会显著增加范围。

标准差 (Standard Deviation)

标准差是衡量数据分散程度的指标，表示数据点与平均数之间的平均距离。

计算公式：

（公式中的图片为平均值）

异常值对标准差影响：异常值会显著影响标准差。因为标准差是基于所有数据点的平方差，极端值会导致平方差增大，进而增大标准差。

?异常值的影响总结

平均数：
加入一个异常值会使平均数向异常值方向偏移；
去掉异常值会使平均数更接近数据的实际中心。

中位数：
中位数对异常值相对不敏感。
除非异常值数量非常多或影响排序的中间位置，否则中位数变化不大。

范围：
加入一个极大或极小的异常值会显著增加范围；
去掉异常值会显著减小范围。

标准差：
加入异常值会增加标准差，因为异常值增加了数据的分散程度；
去掉异常值会减少标准差，使数据看起来更加集中。

总之，异常值会对平均数，范围和标准差产生显著影响，而对中位数的影响则取决于异常值的位置和数量。去掉异常值通常会使这些统计量更能反映数据的真实分布。

SAT数学异常值真题演练

在看完上面的讲解后，让我们来做几道题感受一下异常值是如何影响数据集中的统计量的。

上面这道题，我们发现data set X和data set Y这两个数据集的区别只在data set X多了最右的一个点，因此我们可以把data set X看作是data set Y增加了一个大的异常值：增加一个大的异常值，平均数（mean）会增大；中位数（median）只跟它的位置有关，data set Y共有9个点，它的中位数在第5个点，对应的值是3，data set X共有10个点，它的中位数是第5和第6个点之和的二分之一，对应的值也是3，因此两个数据集中位数相等。

综上所述，这道题只有II的描述是对的，因此选择B选项。

上面这道题，首先我们观察数据集，发现12对于这个数据集来说是一个异常小的值，因此12是这个数据集的outlier。移除一个异常小的值，会另平均数变大，因此平均数会增加。

对于中位数，这道题有一个小陷阱，就是它给的数据集不是按顺序排列的，因此我们第一步需要先把数据按顺序排列。我们从大到小排列后得到：12 52 53 58 62 62 66 67 68 70。在移除异常值12之前，这个数据集的中位数是第5和第6个数之和的二分之一，即62；在移除异常值之后，中位数取九个数中的第5位数，我们发现还是62，因此移除异常值前后中位数不变。

所以这道题我们选择C选项。